Álgebra linear Exemplos

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 3 \end{array}]$

Etapa 1

Estabeleça a fórmula para encontrar a equação característica $p (λ)$ .

$p (λ) = determinante (A - λ I_{4})$

Etapa 2

A matriz identidade ou matriz unitária de tamanho $4$ é a matriz quadrada $4 \times 4$ com números "um" na diagonal principal e zeros nos outros lugares.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$

Etapa 3

Substitua os valores conhecidos em $p (λ) = determinante (A - λ I_{4})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Substitua $[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 3 \end{array}]$ por $A$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 3 \end{array}] - λ I_{4})$

Etapa 3.2

Substitua $[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}]$ por $I_{4}$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 3 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}])$

Etapa 4

Simplifique.

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Etapa 4.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.1.1

Multiplique $- λ$ por cada elemento da matriz.

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Etapa 4.1.2

Simplifique cada elemento da matriz.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.1

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Etapa 4.1.2.2

Multiplique $- λ \cdot 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.2.1

Multiplique $0$ por $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Etapa 4.1.2.2.2

Multiplique $0$ por $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Etapa 4.1.2.3

Multiplique $- λ \cdot 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.3.1

Multiplique $0$ por $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Etapa 4.1.2.3.2

Multiplique $0$ por $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Etapa 4.1.2.4

Multiplique $- λ \cdot 0$ .

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Etapa 4.1.2.4.1

Multiplique $0$ por $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Etapa 4.1.2.4.2

Multiplique $0$ por $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Etapa 4.1.2.5

Multiplique $- λ \cdot 0$ .

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Etapa 4.1.2.5.1

Multiplique $0$ por $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Etapa 4.1.2.5.2

Multiplique $0$ por $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Etapa 4.1.2.6

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Etapa 4.1.2.7

Multiplique $- λ \cdot 0$ .

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Etapa 4.1.2.7.1

Multiplique $0$ por $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Etapa 4.1.2.7.2

Multiplique $0$ por $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Etapa 4.1.2.8

Multiplique $- λ \cdot 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.8.1

Multiplique $0$ por $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Etapa 4.1.2.8.2

Multiplique $0$ por $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Etapa 4.1.2.9

Multiplique $- λ \cdot 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.9.1

Multiplique $0$ por $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Etapa 4.1.2.9.2

Multiplique $0$ por $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Etapa 4.1.2.10

Multiplique $- λ \cdot 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.10.1

Multiplique $0$ por $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 λ & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Etapa 4.1.2.10.2

Multiplique $0$ por $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Etapa 4.1.2.11

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Etapa 4.1.2.12

Multiplique $- λ \cdot 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.12.1

Multiplique $0$ por $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Etapa 4.1.2.12.2

Multiplique $0$ por $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Etapa 4.1.2.13

Multiplique $- λ \cdot 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.13.1

Multiplique $0$ por $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Etapa 4.1.2.13.2

Multiplique $0$ por $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Etapa 4.1.2.14

Multiplique $- λ \cdot 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.14.1

Multiplique $0$ por $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Etapa 4.1.2.14.2

Multiplique $0$ por $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Etapa 4.1.2.15

Multiplique $- λ \cdot 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.15.1

Multiplique $0$ por $- 1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & 0 λ & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Etapa 4.1.2.15.2

Multiplique $0$ por $λ$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

Etapa 4.1.2.16

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$p (λ) = determinante ([\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 3 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & 0 & - λ \end{array}])$

Etapa 4.2

Adicione os elementos correspondentes.

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 1 - λ & 0 + 0 & 0 + 0 & 1 + 0 \\ 0 + 0 & 1 - λ & 1 + 0 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 1 + 0 & 1 - λ & 0 + 0 \\ 1 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 3 - λ \end{array}]$

Etapa 4.3

Simplify each element.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1

Some $0$ e $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 1 - λ & 0 & 0 + 0 & 1 + 0 \\ 0 + 0 & 1 - λ & 1 + 0 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 1 + 0 & 1 - λ & 0 + 0 \\ 1 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 3 - λ \end{array}]$

Etapa 4.3.2

Some $0$ e $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 1 - λ & 0 & 0 & 1 + 0 \\ 0 + 0 & 1 - λ & 1 + 0 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 1 + 0 & 1 - λ & 0 + 0 \\ 1 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 3 - λ \end{array}]$

Etapa 4.3.3

Some $1$ e $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 1 - λ & 0 & 0 & 1 \\ 0 + 0 & 1 - λ & 1 + 0 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 1 + 0 & 1 - λ & 0 + 0 \\ 1 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 3 - λ \end{array}]$

Etapa 4.3.4

Some $0$ e $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 1 - λ & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 - λ & 1 + 0 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 1 + 0 & 1 - λ & 0 + 0 \\ 1 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 3 - λ \end{array}]$

Etapa 4.3.5

Some $1$ e $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 1 - λ & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 - λ & 1 & 0 + 0 \\ 0 + 0 & 1 + 0 & 1 - λ & 0 + 0 \\ 1 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 3 - λ \end{array}]$

Etapa 4.3.6

Some $0$ e $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 1 - λ & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 - λ & 1 & 0 \\ 0 + 0 & 1 + 0 & 1 - λ & 0 + 0 \\ 1 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 3 - λ \end{array}]$

Etapa 4.3.7

Some $0$ e $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 1 - λ & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 - λ & 1 & 0 \\ 0 & 1 + 0 & 1 - λ & 0 + 0 \\ 1 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 3 - λ \end{array}]$

Etapa 4.3.8

Some $1$ e $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 1 - λ & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 - λ & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 - λ & 0 + 0 \\ 1 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 3 - λ \end{array}]$

Etapa 4.3.9

Some $0$ e $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 1 - λ & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 - λ & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 - λ & 0 \\ 1 + 0 & 0 + 0 & 0 + 0 & 3 - λ \end{array}]$

Etapa 4.3.10

Some $1$ e $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 1 - λ & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 - λ & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 - λ & 0 \\ 1 & 0 + 0 & 0 + 0 & 3 - λ \end{array}]$

Etapa 4.3.11

Some $0$ e $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 1 - λ & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 - λ & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 - λ & 0 \\ 1 & 0 & 0 + 0 & 3 - λ \end{array}]$

Etapa 4.3.12

Some $0$ e $0$ .

$p (λ) = determinante [\begin{array}{c} 1 - λ & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 - λ & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 - λ & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 3 - λ \end{array}]$

Etapa 5

Find the determinant.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row $1$ by its cofactor and add.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + & - \\ - & + & - & + \\ + & - & + & - \\ - & + & - & + \end{array} |$

Etapa 5.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

Etapa 5.1.3

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 - λ & 1 & 0 \\ 1 & 1 - λ & 0 \\ 0 & 0 & 3 - λ \end{array} |$

Etapa 5.1.4

Multiply element $a_{11}$ by its cofactor.

$(1 - λ) | \begin{array}{c} 1 - λ & 1 & 0 \\ 1 & 1 - λ & 0 \\ 0 & 0 & 3 - λ \end{array} |$

Etapa 5.1.5

The minor for $a_{12}$ is the determinant with row $1$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 - λ & 0 \\ 1 & 0 & 3 - λ \end{array} |$

Etapa 5.1.6

Multiply element $a_{12}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 - λ & 0 \\ 1 & 0 & 3 - λ \end{array} |$

Etapa 5.1.7

The minor for $a_{13}$ is the determinant with row $1$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 3 - λ \end{array} |$

Etapa 5.1.8

Multiply element $a_{13}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 3 - λ \end{array} |$

Etapa 5.1.9

The minor for $a_{14}$ is the determinant with row $1$ and column $4$ deleted.

$| \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 0 & 1 & 1 - λ \\ 1 & 0 & 0 \end{array} |$

Etapa 5.1.10

Multiply element $a_{14}$ by its cofactor.

$- 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 0 & 1 & 1 - λ \\ 1 & 0 & 0 \end{array} |$

Etapa 5.1.11

Add the terms together.

$p (λ) = (1 - λ) | \begin{array}{c} 1 - λ & 1 & 0 \\ 1 & 1 - λ & 0 \\ 0 & 0 & 3 - λ \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 - λ & 0 \\ 1 & 0 & 3 - λ \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 3 - λ \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 0 & 1 & 1 - λ \\ 1 & 0 & 0 \end{array} |$

Etapa 5.2

Multiplique $0$ por $| \begin{array}{c} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 - λ & 0 \\ 1 & 0 & 3 - λ \end{array} |$ .

$p (λ) = (1 - λ) | \begin{array}{c} 1 - λ & 1 & 0 \\ 1 & 1 - λ & 0 \\ 0 & 0 & 3 - λ \end{array} | + 0 + 0 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 3 - λ \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 0 & 1 & 1 - λ \\ 1 & 0 & 0 \end{array} |$

Etapa 5.3

Multiplique $0$ por $| \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 3 - λ \end{array} |$ .

$p (λ) = (1 - λ) | \begin{array}{c} 1 - λ & 1 & 0 \\ 1 & 1 - λ & 0 \\ 0 & 0 & 3 - λ \end{array} | + 0 + 0 - 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 0 & 1 & 1 - λ \\ 1 & 0 & 0 \end{array} |$

Etapa 5.4

Avalie $| \begin{array}{c} 1 - λ & 1 & 0 \\ 1 & 1 - λ & 0 \\ 0 & 0 & 3 - λ \end{array} |$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row $3$ by its cofactor and add.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Etapa 5.4.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

Etapa 5.4.1.3

The minor for $a_{31}$ is the determinant with row $3$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & 0 \\ 1 - λ & 0 \end{array} |$

Etapa 5.4.1.4

Multiply element $a_{31}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 1 & 0 \\ 1 - λ & 0 \end{array} |$

Etapa 5.4.1.5

The minor for $a_{32}$ is the determinant with row $3$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 - λ & 0 \\ 1 & 0 \end{array} |$

Etapa 5.4.1.6

Multiply element $a_{32}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 1 - λ & 0 \\ 1 & 0 \end{array} |$

Etapa 5.4.1.7

The minor for $a_{33}$ is the determinant with row $3$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 - λ & 1 \\ 1 & 1 - λ \end{array} |$

Etapa 5.4.1.8

Multiply element $a_{33}$ by its cofactor.

$(3 - λ) | \begin{array}{c} 1 - λ & 1 \\ 1 & 1 - λ \end{array} |$

Etapa 5.4.1.9

Add the terms together.

$p (λ) = (1 - λ) (0 | \begin{array}{c} 1 & 0 \\ 1 - λ & 0 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 1 - λ & 0 \\ 1 & 0 \end{array} | + (3 - λ) | \begin{array}{c} 1 - λ & 1 \\ 1 & 1 - λ \end{array} |) + 0 + 0 - 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 0 & 1 & 1 - λ \\ 1 & 0 & 0 \end{array} |$

Etapa 5.4.2

Multiplique $0$ por $| \begin{array}{c} 1 & 0 \\ 1 - λ & 0 \end{array} |$ .

$p (λ) = (1 - λ) (0 + 0 | \begin{array}{c} 1 - λ & 0 \\ 1 & 0 \end{array} | + (3 - λ) | \begin{array}{c} 1 - λ & 1 \\ 1 & 1 - λ \end{array} |) + 0 + 0 - 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 0 & 1 & 1 - λ \\ 1 & 0 & 0 \end{array} |$

Etapa 5.4.3

Multiplique $0$ por $| \begin{array}{c} 1 - λ & 0 \\ 1 & 0 \end{array} |$ .

$p (λ) = (1 - λ) (0 + 0 + (3 - λ) | \begin{array}{c} 1 - λ & 1 \\ 1 & 1 - λ \end{array} |) + 0 + 0 - 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 0 & 1 & 1 - λ \\ 1 & 0 & 0 \end{array} |$

Etapa 5.4.4

Avalie $| \begin{array}{c} 1 - λ & 1 \\ 1 & 1 - λ \end{array} |$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.4.1

O determinante de uma matriz $2 \times 2$ pode ser encontrado ao usar a fórmula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = (1 - λ) (0 + 0 + (3 - λ) ((1 - λ) (1 - λ) - 1 \cdot 1)) + 0 + 0 - 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 0 & 1 & 1 - λ \\ 1 & 0 & 0 \end{array} |$

Etapa 5.4.4.2

Simplifique o determinante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.4.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.4.2.1.1

Expanda $(1 - λ) (1 - λ)$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.4.2.1.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$p (λ) = (1 - λ) (0 + 0 + (3 - λ) (1 (1 - λ) - λ (1 - λ) - 1 \cdot 1)) + 0 + 0 - 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 0 & 1 & 1 - λ \\ 1 & 0 & 0 \end{array} |$

Etapa 5.4.4.2.1.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$p (λ) = (1 - λ) (0 + 0 + (3 - λ) (1 \cdot 1 + 1 (- λ) - λ (1 - λ) - 1 \cdot 1)) + 0 + 0 - 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 0 & 1 & 1 - λ \\ 1 & 0 & 0 \end{array} |$

Etapa 5.4.4.2.1.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$p (λ) = (1 - λ) (0 + 0 + (3 - λ) (1 \cdot 1 + 1 (- λ) - λ \cdot 1 - λ (- λ) - 1 \cdot 1)) + 0 + 0 - 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 0 & 1 & 1 - λ \\ 1 & 0 & 0 \end{array} |$

Etapa 5.4.4.2.1.2

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.4.2.1.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.4.2.1.2.1.1

Multiplique $1$ por $1$ .

$p (λ) = (1 - λ) (0 + 0 + (3 - λ) (1 + 1 (- λ) - λ \cdot 1 - λ (- λ) - 1 \cdot 1)) + 0 + 0 - 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 0 & 1 & 1 - λ \\ 1 & 0 & 0 \end{array} |$

Etapa 5.4.4.2.1.2.1.2

Multiplique $- λ$ por $1$ .

$p (λ) = (1 - λ) (0 + 0 + (3 - λ) (1 - λ - λ \cdot 1 - λ (- λ) - 1 \cdot 1)) + 0 + 0 - 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 0 & 1 & 1 - λ \\ 1 & 0 & 0 \end{array} |$

Etapa 5.4.4.2.1.2.1.3

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$p (λ) = (1 - λ) (0 + 0 + (3 - λ) (1 - λ - λ - λ (- λ) - 1 \cdot 1)) + 0 + 0 - 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 0 & 1 & 1 - λ \\ 1 & 0 & 0 \end{array} |$

Etapa 5.4.4.2.1.2.1.4

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$p (λ) = (1 - λ) (0 + 0 + (3 - λ) (1 - λ - λ - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ - 1 \cdot 1)) + 0 + 0 - 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 0 & 1 & 1 - λ \\ 1 & 0 & 0 \end{array} |$

Etapa 5.4.4.2.1.2.1.5

Multiplique $λ$ por $λ$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.4.2.1.2.1.5.1

Mova $λ$ .

$p (λ) = (1 - λ) (0 + 0 + (3 - λ) (1 - λ - λ - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) - 1 \cdot 1)) + 0 + 0 - 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 0 & 1 & 1 - λ \\ 1 & 0 & 0 \end{array} |$

Etapa 5.4.4.2.1.2.1.5.2

Multiplique $λ$ por $λ$ .

$p (λ) = (1 - λ) (0 + 0 + (3 - λ) (1 - λ - λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} - 1 \cdot 1)) + 0 + 0 - 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 0 & 1 & 1 - λ \\ 1 & 0 & 0 \end{array} |$

Etapa 5.4.4.2.1.2.1.6

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$p (λ) = (1 - λ) (0 + 0 + (3 - λ) (1 - λ - λ + 1 λ^{2} - 1 \cdot 1)) + 0 + 0 - 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 0 & 1 & 1 - λ \\ 1 & 0 & 0 \end{array} |$

Etapa 5.4.4.2.1.2.1.7

Multiplique $λ^{2}$ por $1$ .

$p (λ) = (1 - λ) (0 + 0 + (3 - λ) (1 - λ - λ + λ^{2} - 1 \cdot 1)) + 0 + 0 - 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 0 & 1 & 1 - λ \\ 1 & 0 & 0 \end{array} |$

Etapa 5.4.4.2.1.2.2

Subtraia $λ$ de $- λ$ .

$p (λ) = (1 - λ) (0 + 0 + (3 - λ) (1 - 2 λ + λ^{2} - 1 \cdot 1)) + 0 + 0 - 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 0 & 1 & 1 - λ \\ 1 & 0 & 0 \end{array} |$

Etapa 5.4.4.2.1.3

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$p (λ) = (1 - λ) (0 + 0 + (3 - λ) (1 - 2 λ + λ^{2} - 1)) + 0 + 0 - 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 0 & 1 & 1 - λ \\ 1 & 0 & 0 \end{array} |$

Etapa 5.4.4.2.2

Combine os termos opostos em $1 - 2 λ + λ^{2} - 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.4.2.2.1

Subtraia $1$ de $1$ .

$p (λ) = (1 - λ) (0 + 0 + (3 - λ) (- 2 λ + λ^{2} + 0)) + 0 + 0 - 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 0 & 1 & 1 - λ \\ 1 & 0 & 0 \end{array} |$

Etapa 5.4.4.2.2.2

Some $- 2 λ + λ^{2}$ e $0$ .

$p (λ) = (1 - λ) (0 + 0 + (3 - λ) (- 2 λ + λ^{2})) + 0 + 0 - 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 0 & 1 & 1 - λ \\ 1 & 0 & 0 \end{array} |$

Etapa 5.4.4.2.3

Reordene $- 2 λ$ e $λ^{2}$ .

$p (λ) = (1 - λ) (0 + 0 + (3 - λ) (λ^{2} - 2 λ)) + 0 + 0 - 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 0 & 1 & 1 - λ \\ 1 & 0 & 0 \end{array} |$

Etapa 5.4.5

Simplifique o determinante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.5.1

Combine os termos opostos em $0 + 0 + (3 - λ) (λ^{2} - 2 λ)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.5.1.1

Some $0$ e $0$ .

$p (λ) = (1 - λ) (0 + (3 - λ) (λ^{2} - 2 λ)) + 0 + 0 - 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 0 & 1 & 1 - λ \\ 1 & 0 & 0 \end{array} |$

Etapa 5.4.5.1.2

Some $0$ e $(3 - λ) (λ^{2} - 2 λ)$ .

$p (λ) = (1 - λ) ((3 - λ) (λ^{2} - 2 λ)) + 0 + 0 - 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 0 & 1 & 1 - λ \\ 1 & 0 & 0 \end{array} |$

Etapa 5.4.5.2

Expanda $(3 - λ) (λ^{2} - 2 λ)$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.5.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$p (λ) = (1 - λ) (3 (λ^{2} - 2 λ) - λ (λ^{2} - 2 λ)) + 0 + 0 - 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 0 & 1 & 1 - λ \\ 1 & 0 & 0 \end{array} |$

Etapa 5.4.5.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$p (λ) = (1 - λ) (3 λ^{2} + 3 (- 2 λ) - λ (λ^{2} - 2 λ)) + 0 + 0 - 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 0 & 1 & 1 - λ \\ 1 & 0 & 0 \end{array} |$

Etapa 5.4.5.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$p (λ) = (1 - λ) (3 λ^{2} + 3 (- 2 λ) - λ \cdot λ^{2} - λ (- 2 λ)) + 0 + 0 - 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 0 & 1 & 1 - λ \\ 1 & 0 & 0 \end{array} |$

Etapa 5.4.5.3

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.5.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.5.3.1.1

Multiplique $- 2$ por $3$ .

$p (λ) = (1 - λ) (3 λ^{2} - 6 λ - λ \cdot λ^{2} - λ (- 2 λ)) + 0 + 0 - 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 0 & 1 & 1 - λ \\ 1 & 0 & 0 \end{array} |$

Etapa 5.4.5.3.1.2

Multiplique $λ$ por $λ^{2}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.5.3.1.2.1

Mova $λ^{2}$ .

$p (λ) = (1 - λ) (3 λ^{2} - 6 λ - (λ^{2} λ) - λ (- 2 λ)) + 0 + 0 - 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 0 & 1 & 1 - λ \\ 1 & 0 & 0 \end{array} |$

Etapa 5.4.5.3.1.2.2

Multiplique $λ^{2}$ por $λ$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.5.3.1.2.2.1

Eleve $λ$ à potência de $1$ .

$p (λ) = (1 - λ) (3 λ^{2} - 6 λ - (λ^{2} λ^{1}) - λ (- 2 λ)) + 0 + 0 - 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 0 & 1 & 1 - λ \\ 1 & 0 & 0 \end{array} |$

Etapa 5.4.5.3.1.2.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$p (λ) = (1 - λ) (3 λ^{2} - 6 λ - λ^{2 + 1} - λ (- 2 λ)) + 0 + 0 - 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 0 & 1 & 1 - λ \\ 1 & 0 & 0 \end{array} |$

Etapa 5.4.5.3.1.2.3

Some $2$ e $1$ .

$p (λ) = (1 - λ) (3 λ^{2} - 6 λ - λ^{3} - λ (- 2 λ)) + 0 + 0 - 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 0 & 1 & 1 - λ \\ 1 & 0 & 0 \end{array} |$

Etapa 5.4.5.3.1.3

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$p (λ) = (1 - λ) (3 λ^{2} - 6 λ - λ^{3} - 1 \cdot - 2 λ \cdot λ) + 0 + 0 - 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 0 & 1 & 1 - λ \\ 1 & 0 & 0 \end{array} |$

Etapa 5.4.5.3.1.4

Multiplique $λ$ por $λ$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.5.3.1.4.1

Mova $λ$ .

$p (λ) = (1 - λ) (3 λ^{2} - 6 λ - λ^{3} - 1 \cdot - 2 (λ \cdot λ)) + 0 + 0 - 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 0 & 1 & 1 - λ \\ 1 & 0 & 0 \end{array} |$

Etapa 5.4.5.3.1.4.2

Multiplique $λ$ por $λ$ .

$p (λ) = (1 - λ) (3 λ^{2} - 6 λ - λ^{3} - 1 \cdot - 2 λ^{2}) + 0 + 0 - 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 0 & 1 & 1 - λ \\ 1 & 0 & 0 \end{array} |$

Etapa 5.4.5.3.1.5

Multiplique $- 1$ por $- 2$ .

$p (λ) = (1 - λ) (3 λ^{2} - 6 λ - λ^{3} + 2 λ^{2}) + 0 + 0 - 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 0 & 1 & 1 - λ \\ 1 & 0 & 0 \end{array} |$

Etapa 5.4.5.3.2

Some $3 λ^{2}$ e $2 λ^{2}$ .

$p (λ) = (1 - λ) (5 λ^{2} - 6 λ - λ^{3}) + 0 + 0 - 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 0 & 1 & 1 - λ \\ 1 & 0 & 0 \end{array} |$

Etapa 5.4.5.4

Mova $- 6 λ$ .

$p (λ) = (1 - λ) (5 λ^{2} - λ^{3} - 6 λ) + 0 + 0 - 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 0 & 1 & 1 - λ \\ 1 & 0 & 0 \end{array} |$

Etapa 5.4.5.5

Reordene $5 λ^{2}$ e $- λ^{3}$ .

$p (λ) = (1 - λ) (- λ^{3} + 5 λ^{2} - 6 λ) + 0 + 0 - 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 0 & 1 & 1 - λ \\ 1 & 0 & 0 \end{array} |$

Etapa 5.5

Avalie $| \begin{array}{c} 0 & 1 - λ & 1 \\ 0 & 1 & 1 - λ \\ 1 & 0 & 0 \end{array} |$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row $1$ by its cofactor and add.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Etapa 5.5.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

Etapa 5.5.1.3

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 & 1 - λ \\ 0 & 0 \end{array} |$

Etapa 5.5.1.4

Multiply element $a_{11}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 1 & 1 - λ \\ 0 & 0 \end{array} |$

Etapa 5.5.1.5

The minor for $a_{12}$ is the determinant with row $1$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 0 & 1 - λ \\ 1 & 0 \end{array} |$

Etapa 5.5.1.6

Multiply element $a_{12}$ by its cofactor.

$- (1 - λ) | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ \\ 1 & 0 \end{array} |$

Etapa 5.5.1.7

The minor for $a_{13}$ is the determinant with row $1$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{array} |$

Etapa 5.5.1.8

Multiply element $a_{13}$ by its cofactor.

$1 | \begin{array}{c} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{array} |$

Etapa 5.5.1.9

Add the terms together.

$p (λ) = (1 - λ) (- λ^{3} + 5 λ^{2} - 6 λ) + 0 + 0 - 1 (0 | \begin{array}{c} 1 & 1 - λ \\ 0 & 0 \end{array} | - (1 - λ) | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ \\ 1 & 0 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{array} |)$

Etapa 5.5.2

Multiplique $0$ por $| \begin{array}{c} 1 & 1 - λ \\ 0 & 0 \end{array} |$ .

$p (λ) = (1 - λ) (- λ^{3} + 5 λ^{2} - 6 λ) + 0 + 0 - 1 (0 - (1 - λ) | \begin{array}{c} 0 & 1 - λ \\ 1 & 0 \end{array} | + 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{array} |)$

Etapa 5.5.3

Avalie $| \begin{array}{c} 0 & 1 - λ \\ 1 & 0 \end{array} |$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.3.1

O determinante de uma matriz $2 \times 2$ pode ser encontrado ao usar a fórmula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = (1 - λ) (- λ^{3} + 5 λ^{2} - 6 λ) + 0 + 0 - 1 (0 - (1 - λ) (0 \cdot 0 - (1 - λ)) + 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{array} |)$

Etapa 5.5.3.2

Simplifique o determinante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.3.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.3.2.1.1

Multiplique $0$ por $0$ .

$p (λ) = (1 - λ) (- λ^{3} + 5 λ^{2} - 6 λ) + 0 + 0 - 1 (0 - (1 - λ) (0 - (1 - λ)) + 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{array} |)$

Etapa 5.5.3.2.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$p (λ) = (1 - λ) (- λ^{3} + 5 λ^{2} - 6 λ) + 0 + 0 - 1 (0 - (1 - λ) (0 - 1 \cdot 1 - - λ) + 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{array} |)$

Etapa 5.5.3.2.1.3

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$p (λ) = (1 - λ) (- λ^{3} + 5 λ^{2} - 6 λ) + 0 + 0 - 1 (0 - (1 - λ) (0 - 1 - - λ) + 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{array} |)$

Etapa 5.5.3.2.1.4

Multiplique $- - λ$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.3.2.1.4.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$p (λ) = (1 - λ) (- λ^{3} + 5 λ^{2} - 6 λ) + 0 + 0 - 1 (0 - (1 - λ) (0 - 1 + 1 λ) + 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{array} |)$

Etapa 5.5.3.2.1.4.2

Multiplique $λ$ por $1$ .

$p (λ) = (1 - λ) (- λ^{3} + 5 λ^{2} - 6 λ) + 0 + 0 - 1 (0 - (1 - λ) (0 - 1 + λ) + 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{array} |)$

Etapa 5.5.3.2.2

Subtraia $1$ de $0$ .

$p (λ) = (1 - λ) (- λ^{3} + 5 λ^{2} - 6 λ) + 0 + 0 - 1 (0 - (1 - λ) (- 1 + λ) + 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{array} |)$

Etapa 5.5.3.2.3

Reordene $- 1$ e $λ$ .

$p (λ) = (1 - λ) (- λ^{3} + 5 λ^{2} - 6 λ) + 0 + 0 - 1 (0 - (1 - λ) (λ - 1) + 1 | \begin{array}{c} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{array} |)$

Etapa 5.5.4

Avalie $| \begin{array}{c} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{array} |$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.4.1

O determinante de uma matriz $2 \times 2$ pode ser encontrado ao usar a fórmula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$p (λ) = (1 - λ) (- λ^{3} + 5 λ^{2} - 6 λ) + 0 + 0 - 1 (0 - (1 - λ) (λ - 1) + 1 (0 \cdot 0 - 1 \cdot 1))$

Etapa 5.5.4.2

Simplifique o determinante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.4.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.4.2.1.1

Multiplique $0$ por $0$ .

$p (λ) = (1 - λ) (- λ^{3} + 5 λ^{2} - 6 λ) + 0 + 0 - 1 (0 - (1 - λ) (λ - 1) + 1 (0 - 1 \cdot 1))$

Etapa 5.5.4.2.1.2

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$p (λ) = (1 - λ) (- λ^{3} + 5 λ^{2} - 6 λ) + 0 + 0 - 1 (0 - (1 - λ) (λ - 1) + 1 (0 - 1))$

Etapa 5.5.4.2.2

Subtraia $1$ de $0$ .

$p (λ) = (1 - λ) (- λ^{3} + 5 λ^{2} - 6 λ) + 0 + 0 - 1 (0 - (1 - λ) (λ - 1) + 1 \cdot - 1)$

Etapa 5.5.5

Simplifique o determinante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.5.1

Subtraia $(1 - λ) (λ - 1)$ de $0$ .

$p (λ) = (1 - λ) (- λ^{3} + 5 λ^{2} - 6 λ) + 0 + 0 - 1 (- (1 - λ) (λ - 1) + 1 \cdot - 1)$

Etapa 5.5.5.2

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.5.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$p (λ) = (1 - λ) (- λ^{3} + 5 λ^{2} - 6 λ) + 0 + 0 - 1 ((- 1 \cdot 1 - - λ) (λ - 1) + 1 \cdot - 1)$

Etapa 5.5.5.2.2

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$p (λ) = (1 - λ) (- λ^{3} + 5 λ^{2} - 6 λ) + 0 + 0 - 1 ((- 1 - - λ) (λ - 1) + 1 \cdot - 1)$

Etapa 5.5.5.2.3

Multiplique $- - λ$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.5.2.3.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$p (λ) = (1 - λ) (- λ^{3} + 5 λ^{2} - 6 λ) + 0 + 0 - 1 ((- 1 + 1 λ) (λ - 1) + 1 \cdot - 1)$

Etapa 5.5.5.2.3.2

Multiplique $λ$ por $1$ .

$p (λ) = (1 - λ) (- λ^{3} + 5 λ^{2} - 6 λ) + 0 + 0 - 1 ((- 1 + λ) (λ - 1) + 1 \cdot - 1)$

Etapa 5.5.5.2.4

Expanda $(- 1 + λ) (λ - 1)$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.5.2.4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$p (λ) = (1 - λ) (- λ^{3} + 5 λ^{2} - 6 λ) + 0 + 0 - 1 (- 1 (λ - 1) + λ (λ - 1) + 1 \cdot - 1)$

Etapa 5.5.5.2.4.2

Aplique a propriedade distributiva.

$p (λ) = (1 - λ) (- λ^{3} + 5 λ^{2} - 6 λ) + 0 + 0 - 1 (- 1 λ - 1 \cdot - 1 + λ (λ - 1) + 1 \cdot - 1)$

Etapa 5.5.5.2.4.3

Aplique a propriedade distributiva.

$p (λ) = (1 - λ) (- λ^{3} + 5 λ^{2} - 6 λ) + 0 + 0 - 1 (- 1 λ - 1 \cdot - 1 + λ \cdot λ + λ \cdot - 1 + 1 \cdot - 1)$

Etapa 5.5.5.2.5

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.5.2.5.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.5.2.5.1.1

Reescreva $- 1 λ$ como $- λ$ .

$p (λ) = (1 - λ) (- λ^{3} + 5 λ^{2} - 6 λ) + 0 + 0 - 1 (- λ - 1 \cdot - 1 + λ \cdot λ + λ \cdot - 1 + 1 \cdot - 1)$

Etapa 5.5.5.2.5.1.2

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$p (λ) = (1 - λ) (- λ^{3} + 5 λ^{2} - 6 λ) + 0 + 0 - 1 (- λ + 1 + λ \cdot λ + λ \cdot - 1 + 1 \cdot - 1)$

Etapa 5.5.5.2.5.1.3

Multiplique $λ$ por $λ$ .

$p (λ) = (1 - λ) (- λ^{3} + 5 λ^{2} - 6 λ) + 0 + 0 - 1 (- λ + 1 + λ^{2} + λ \cdot - 1 + 1 \cdot - 1)$

Etapa 5.5.5.2.5.1.4

Mova $- 1$ para a esquerda de $λ$ .

$p (λ) = (1 - λ) (- λ^{3} + 5 λ^{2} - 6 λ) + 0 + 0 - 1 (- λ + 1 + λ^{2} - 1 \cdot λ + 1 \cdot - 1)$

Etapa 5.5.5.2.5.1.5

Reescreva $- 1 λ$ como $- λ$ .

$p (λ) = (1 - λ) (- λ^{3} + 5 λ^{2} - 6 λ) + 0 + 0 - 1 (- λ + 1 + λ^{2} - λ + 1 \cdot - 1)$

Etapa 5.5.5.2.5.2

Subtraia $λ$ de $- λ$ .

$p (λ) = (1 - λ) (- λ^{3} + 5 λ^{2} - 6 λ) + 0 + 0 - 1 (- 2 λ + 1 + λ^{2} + 1 \cdot - 1)$

Etapa 5.5.5.2.6

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$p (λ) = (1 - λ) (- λ^{3} + 5 λ^{2} - 6 λ) + 0 + 0 - 1 (- 2 λ + 1 + λ^{2} - 1)$

Etapa 5.5.5.3

Combine os termos opostos em $- 2 λ + 1 + λ^{2} - 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.5.3.1

Subtraia $1$ de $1$ .

$p (λ) = (1 - λ) (- λ^{3} + 5 λ^{2} - 6 λ) + 0 + 0 - 1 (- 2 λ + λ^{2} + 0)$

Etapa 5.5.5.3.2

Some $- 2 λ + λ^{2}$ e $0$ .

$p (λ) = (1 - λ) (- λ^{3} + 5 λ^{2} - 6 λ) + 0 + 0 - 1 (- 2 λ + λ^{2})$

Etapa 5.5.5.4

Reordene $- 2 λ$ e $λ^{2}$ .

$p (λ) = (1 - λ) (- λ^{3} + 5 λ^{2} - 6 λ) + 0 + 0 - 1 (λ^{2} - 2 λ)$

Etapa 5.6

Simplifique o determinante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.6.1

Combine os termos opostos em $(1 - λ) (- λ^{3} + 5 λ^{2} - 6 λ) + 0 + 0 - 1 (λ^{2} - 2 λ)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.6.1.1

Some $(1 - λ) (- λ^{3} + 5 λ^{2} - 6 λ)$ e $0$ .

$p (λ) = (1 - λ) (- λ^{3} + 5 λ^{2} - 6 λ) + 0 - 1 (λ^{2} - 2 λ)$

Etapa 5.6.1.2

Some $(1 - λ) (- λ^{3} + 5 λ^{2} - 6 λ)$ e $0$ .

$p (λ) = (1 - λ) (- λ^{3} + 5 λ^{2} - 6 λ) - 1 (λ^{2} - 2 λ)$

Etapa 5.6.2

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.6.2.1

Expanda $(1 - λ) (- λ^{3} + 5 λ^{2} - 6 λ)$ multiplicando cada termo na primeira expressão por cada um dos termos na segunda expressão.

$p (λ) = 1 (- λ^{3}) + 1 (5 λ^{2}) + 1 (- 6 λ) - λ (- λ^{3}) - λ (5 λ^{2}) - λ (- 6 λ) - 1 (λ^{2} - 2 λ)$

Etapa 5.6.2.2

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.6.2.2.1

Multiplique $- λ^{3}$ por $1$ .

$p (λ) = - λ^{3} + 1 (5 λ^{2}) + 1 (- 6 λ) - λ (- λ^{3}) - λ (5 λ^{2}) - λ (- 6 λ) - 1 (λ^{2} - 2 λ)$

Etapa 5.6.2.2.2

Multiplique $5 λ^{2}$ por $1$ .

$p (λ) = - λ^{3} + 5 λ^{2} + 1 (- 6 λ) - λ (- λ^{3}) - λ (5 λ^{2}) - λ (- 6 λ) - 1 (λ^{2} - 2 λ)$

Etapa 5.6.2.2.3

Multiplique $- 6 λ$ por $1$ .

$p (λ) = - λ^{3} + 5 λ^{2} - 6 λ - λ (- λ^{3}) - λ (5 λ^{2}) - λ (- 6 λ) - 1 (λ^{2} - 2 λ)$

Etapa 5.6.2.2.4

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$p (λ) = - λ^{3} + 5 λ^{2} - 6 λ - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ^{3} - λ (5 λ^{2}) - λ (- 6 λ) - 1 (λ^{2} - 2 λ)$

Etapa 5.6.2.2.5

Multiplique $λ$ por $λ^{3}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.6.2.2.5.1

Mova $λ^{3}$ .

$p (λ) = - λ^{3} + 5 λ^{2} - 6 λ - 1 \cdot - 1 (λ^{3} λ) - λ (5 λ^{2}) - λ (- 6 λ) - 1 (λ^{2} - 2 λ)$

Etapa 5.6.2.2.5.2

Multiplique $λ^{3}$ por $λ$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.6.2.2.5.2.1

Eleve $λ$ à potência de $1$ .

$p (λ) = - λ^{3} + 5 λ^{2} - 6 λ - 1 \cdot - 1 (λ^{3} λ^{1}) - λ (5 λ^{2}) - λ (- 6 λ) - 1 (λ^{2} - 2 λ)$

Etapa 5.6.2.2.5.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$p (λ) = - λ^{3} + 5 λ^{2} - 6 λ - 1 \cdot - 1 λ^{3 + 1} - λ (5 λ^{2}) - λ (- 6 λ) - 1 (λ^{2} - 2 λ)$

Etapa 5.6.2.2.5.3

Some $3$ e $1$ .

$p (λ) = - λ^{3} + 5 λ^{2} - 6 λ - 1 \cdot - 1 λ^{4} - λ (5 λ^{2}) - λ (- 6 λ) - 1 (λ^{2} - 2 λ)$

Etapa 5.6.2.2.6

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$p (λ) = - λ^{3} + 5 λ^{2} - 6 λ + 1 λ^{4} - λ (5 λ^{2}) - λ (- 6 λ) - 1 (λ^{2} - 2 λ)$

Etapa 5.6.2.2.7

Multiplique $λ^{4}$ por $1$ .

$p (λ) = - λ^{3} + 5 λ^{2} - 6 λ + λ^{4} - λ (5 λ^{2}) - λ (- 6 λ) - 1 (λ^{2} - 2 λ)$

Etapa 5.6.2.2.8

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$p (λ) = - λ^{3} + 5 λ^{2} - 6 λ + λ^{4} - 1 \cdot 5 λ \cdot λ^{2} - λ (- 6 λ) - 1 (λ^{2} - 2 λ)$

Etapa 5.6.2.2.9

Multiplique $λ$ por $λ^{2}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.6.2.2.9.1

Mova $λ^{2}$ .

$p (λ) = - λ^{3} + 5 λ^{2} - 6 λ + λ^{4} - 1 \cdot 5 (λ^{2} λ) - λ (- 6 λ) - 1 (λ^{2} - 2 λ)$

Etapa 5.6.2.2.9.2

Multiplique $λ^{2}$ por $λ$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.6.2.2.9.2.1

Eleve $λ$ à potência de $1$ .

$p (λ) = - λ^{3} + 5 λ^{2} - 6 λ + λ^{4} - 1 \cdot 5 (λ^{2} λ^{1}) - λ (- 6 λ) - 1 (λ^{2} - 2 λ)$

Etapa 5.6.2.2.9.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$p (λ) = - λ^{3} + 5 λ^{2} - 6 λ + λ^{4} - 1 \cdot 5 λ^{2 + 1} - λ (- 6 λ) - 1 (λ^{2} - 2 λ)$

Etapa 5.6.2.2.9.3

Some $2$ e $1$ .

$p (λ) = - λ^{3} + 5 λ^{2} - 6 λ + λ^{4} - 1 \cdot 5 λ^{3} - λ (- 6 λ) - 1 (λ^{2} - 2 λ)$

Etapa 5.6.2.2.10

Multiplique $- 1$ por $5$ .

$p (λ) = - λ^{3} + 5 λ^{2} - 6 λ + λ^{4} - 5 λ^{3} - λ (- 6 λ) - 1 (λ^{2} - 2 λ)$

Etapa 5.6.2.2.11

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$p (λ) = - λ^{3} + 5 λ^{2} - 6 λ + λ^{4} - 5 λ^{3} - 1 \cdot - 6 λ \cdot λ - 1 (λ^{2} - 2 λ)$

Etapa 5.6.2.2.12

Multiplique $λ$ por $λ$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.6.2.2.12.1

Mova $λ$ .

$p (λ) = - λ^{3} + 5 λ^{2} - 6 λ + λ^{4} - 5 λ^{3} - 1 \cdot - 6 (λ \cdot λ) - 1 (λ^{2} - 2 λ)$

Etapa 5.6.2.2.12.2

Multiplique $λ$ por $λ$ .

$p (λ) = - λ^{3} + 5 λ^{2} - 6 λ + λ^{4} - 5 λ^{3} - 1 \cdot - 6 λ^{2} - 1 (λ^{2} - 2 λ)$

Etapa 5.6.2.2.13

Multiplique $- 1$ por $- 6$ .

$p (λ) = - λ^{3} + 5 λ^{2} - 6 λ + λ^{4} - 5 λ^{3} + 6 λ^{2} - 1 (λ^{2} - 2 λ)$

Etapa 5.6.2.3

Subtraia $5 λ^{3}$ de $- λ^{3}$ .

$p (λ) = - 6 λ^{3} + 5 λ^{2} - 6 λ + λ^{4} + 6 λ^{2} - 1 (λ^{2} - 2 λ)$

Etapa 5.6.2.4

Some $5 λ^{2}$ e $6 λ^{2}$ .

$p (λ) = - 6 λ^{3} + 11 λ^{2} - 6 λ + λ^{4} - 1 (λ^{2} - 2 λ)$

Etapa 5.6.2.5

Aplique a propriedade distributiva.

$p (λ) = - 6 λ^{3} + 11 λ^{2} - 6 λ + λ^{4} - 1 λ^{2} - 1 (- 2 λ)$

Etapa 5.6.2.6

Reescreva $- 1 λ^{2}$ como $- λ^{2}$ .

$p (λ) = - 6 λ^{3} + 11 λ^{2} - 6 λ + λ^{4} - λ^{2} - 1 (- 2 λ)$

Etapa 5.6.2.7

Multiplique $- 2$ por $- 1$ .

$p (λ) = - 6 λ^{3} + 11 λ^{2} - 6 λ + λ^{4} - λ^{2} + 2 λ$

Etapa 5.6.3

Subtraia $λ^{2}$ de $11 λ^{2}$ .

$p (λ) = - 6 λ^{3} + 10 λ^{2} - 6 λ + λ^{4} + 2 λ$

Etapa 5.6.4

Some $- 6 λ$ e $2 λ$ .

$p (λ) = - 6 λ^{3} + 10 λ^{2} + λ^{4} - 4 λ$

Etapa 5.6.5

Mova $10 λ^{2}$ .

$p (λ) = - 6 λ^{3} + λ^{4} + 10 λ^{2} - 4 λ$

Etapa 5.6.6

Reordene $- 6 λ^{3}$ e $λ^{4}$ .

$p (λ) = λ^{4} - 6 λ^{3} + 10 λ^{2} - 4 λ$

Etapa 6

Defina o polinômio característico como igual a $0$ para encontrar os autovalores $λ$ .

$λ^{4} - 6 λ^{3} + 10 λ^{2} - 4 λ = 0$

Etapa 7

Resolva $λ$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

Fatore o lado esquerdo da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1.1

Fatore $λ$ de $λ^{4} - 6 λ^{3} + 10 λ^{2} - 4 λ$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1.1.1

Fatore $λ$ de $λ^{4}$ .

$λ \cdot λ^{3} - 6 λ^{3} + 10 λ^{2} - 4 λ = 0$

Etapa 7.1.1.2

Fatore $λ$ de $- 6 λ^{3}$ .

$λ \cdot λ^{3} + λ (- 6 λ^{2}) + 10 λ^{2} - 4 λ = 0$

Etapa 7.1.1.3

Fatore $λ$ de $10 λ^{2}$ .

$λ \cdot λ^{3} + λ (- 6 λ^{2}) + λ (10 λ) - 4 λ = 0$

Etapa 7.1.1.4

Fatore $λ$ de $- 4 λ$ .

$λ \cdot λ^{3} + λ (- 6 λ^{2}) + λ (10 λ) + λ \cdot - 4 = 0$

Etapa 7.1.1.5

Fatore $λ$ de $λ \cdot λ^{3} + λ (- 6 λ^{2})$ .

$λ (λ^{3} - 6 λ^{2}) + λ (10 λ) + λ \cdot - 4 = 0$

Etapa 7.1.1.6

Fatore $λ$ de $λ (λ^{3} - 6 λ^{2}) + λ (10 λ)$ .

$λ (λ^{3} - 6 λ^{2} + 10 λ) + λ \cdot - 4 = 0$

Etapa 7.1.1.7

Fatore $λ$ de $λ (λ^{3} - 6 λ^{2} + 10 λ) + λ \cdot - 4$ .

$λ (λ^{3} - 6 λ^{2} + 10 λ - 4) = 0$

Etapa 7.1.2

Fatore.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1.2.1

Fatore $λ^{3} - 6 λ^{2} + 10 λ - 4$ usando o teste das raízes racionais.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1.2.1.1

Se uma função polinomial tiver coeficientes inteiros, então todo zero racional terá a forma $\frac{p}{q}$ , em que $p$ é um fator da constante e $q$ é um fator do coeficiente de maior ordem.

$p = \pm 1, \pm 4, \pm 2$

$q = \pm 1$

Etapa 7.1.2.1.2

Encontre todas as combinações de $\pm \frac{p}{q}$ . Essas são as raízes possíveis da função polinomial.

$\pm 1, \pm 4, \pm 2$

Etapa 7.1.2.1.3

Substitua $2$ e simplifique a expressão. Nesse caso, a expressão é igual a $0$ . Portanto, $2$ é uma raiz do polinômio.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1.2.1.3.1

Substitua $2$ no polinômio.

$2^{3} - 6 \cdot 2^{2} + 10 \cdot 2 - 4$

Etapa 7.1.2.1.3.2

Eleve $2$ à potência de $3$ .

$8 - 6 \cdot 2^{2} + 10 \cdot 2 - 4$

Etapa 7.1.2.1.3.3

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$8 - 6 \cdot 4 + 10 \cdot 2 - 4$

Etapa 7.1.2.1.3.4

Multiplique $- 6$ por $4$ .

$8 - 24 + 10 \cdot 2 - 4$

Etapa 7.1.2.1.3.5

Subtraia $24$ de $8$ .

$- 16 + 10 \cdot 2 - 4$

Etapa 7.1.2.1.3.6

Multiplique $10$ por $2$ .

$- 16 + 20 - 4$

Etapa 7.1.2.1.3.7

Some $- 16$ e $20$ .

$4 - 4$

Etapa 7.1.2.1.3.8

Subtraia $4$ de $4$ .

$0$

Etapa 7.1.2.1.4

Como $2$ é uma raiz conhecida, divida o polinômio por $λ - 2$ para encontrar o polinômio do quociente. Então, esse polinômio pode ser usado para encontrar as raízes restantes.

$\frac{λ^{3} - 6 λ^{2} + 10 λ - 4}{λ - 2}$

Etapa 7.1.2.1.5

Divida $λ^{3} - 6 λ^{2} + 10 λ - 4$ por $λ - 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1.2.1.5.1

Estabeleça os polinômios a serem divididos. Se não houver um termo para cada expoente, insira um com valor de $0$ .

$λ$

$2$

$λ^{3}$

$6 λ^{2}$

$10 λ$

$4$

Etapa 7.1.2.1.5.2

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $λ^{3}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $λ$ .

					$λ^{2}$
	$λ$	-	$2$		$λ^{3}$	-	$6 λ^{2}$	+	$10 λ$	-	$4$

Etapa 7.1.2.1.5.3

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$λ^{2}$
$λ$	-	$2$		$λ^{3}$	-	$6 λ^{2}$	+	$10 λ$	-	$4$
			+	$λ^{3}$	-	$2 λ^{2}$

Etapa 7.1.2.1.5.4

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $λ^{3} - 2 λ^{2}$ .

				$λ^{2}$
$λ$	-	$2$		$λ^{3}$	-	$6 λ^{2}$	+	$10 λ$	-	$4$
			-	$λ^{3}$	+	$2 λ^{2}$

Etapa 7.1.2.1.5.5

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$λ^{2}$
$λ$	-	$2$		$λ^{3}$	-	$6 λ^{2}$	+	$10 λ$	-	$4$
			-	$λ^{3}$	+	$2 λ^{2}$
					-	$4 λ^{2}$

Etapa 7.1.2.1.5.6

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

				$λ^{2}$
$λ$	-	$2$		$λ^{3}$	-	$6 λ^{2}$	+	$10 λ$	-	$4$
			-	$λ^{3}$	+	$2 λ^{2}$
					-	$4 λ^{2}$	+	$10 λ$

Etapa 7.1.2.1.5.7

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $- 4 λ^{2}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $λ$ .

				$λ^{2}$	-	$4 λ$
$λ$	-	$2$		$λ^{3}$	-	$6 λ^{2}$	+	$10 λ$	-	$4$
			-	$λ^{3}$	+	$2 λ^{2}$
					-	$4 λ^{2}$	+	$10 λ$

Etapa 7.1.2.1.5.8

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$λ^{2}$	-	$4 λ$
$λ$	-	$2$		$λ^{3}$	-	$6 λ^{2}$	+	$10 λ$	-	$4$
			-	$λ^{3}$	+	$2 λ^{2}$
					-	$4 λ^{2}$	+	$10 λ$
					-	$4 λ^{2}$	+	$8 λ$

Etapa 7.1.2.1.5.9

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $- 4 λ^{2} + 8 λ$ .

				$λ^{2}$	-	$4 λ$
$λ$	-	$2$		$λ^{3}$	-	$6 λ^{2}$	+	$10 λ$	-	$4$
			-	$λ^{3}$	+	$2 λ^{2}$
					-	$4 λ^{2}$	+	$10 λ$
					+	$4 λ^{2}$	-	$8 λ$

Etapa 7.1.2.1.5.10

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$λ^{2}$	-	$4 λ$
$λ$	-	$2$		$λ^{3}$	-	$6 λ^{2}$	+	$10 λ$	-	$4$
			-	$λ^{3}$	+	$2 λ^{2}$
					-	$4 λ^{2}$	+	$10 λ$
					+	$4 λ^{2}$	-	$8 λ$
							+	$2 λ$

Etapa 7.1.2.1.5.11

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

				$λ^{2}$	-	$4 λ$
$λ$	-	$2$		$λ^{3}$	-	$6 λ^{2}$	+	$10 λ$	-	$4$
			-	$λ^{3}$	+	$2 λ^{2}$
					-	$4 λ^{2}$	+	$10 λ$
					+	$4 λ^{2}$	-	$8 λ$
							+	$2 λ$	-	$4$

Etapa 7.1.2.1.5.12

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $2 λ$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $λ$ .

				$λ^{2}$	-	$4 λ$	+	$2$
$λ$	-	$2$		$λ^{3}$	-	$6 λ^{2}$	+	$10 λ$	-	$4$
			-	$λ^{3}$	+	$2 λ^{2}$
					-	$4 λ^{2}$	+	$10 λ$
					+	$4 λ^{2}$	-	$8 λ$
							+	$2 λ$	-	$4$

Etapa 7.1.2.1.5.13

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$λ^{2}$	-	$4 λ$	+	$2$
$λ$	-	$2$		$λ^{3}$	-	$6 λ^{2}$	+	$10 λ$	-	$4$
			-	$λ^{3}$	+	$2 λ^{2}$
					-	$4 λ^{2}$	+	$10 λ$
					+	$4 λ^{2}$	-	$8 λ$
							+	$2 λ$	-	$4$
							+	$2 λ$	-	$4$

Etapa 7.1.2.1.5.14

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $2 λ - 4$ .

				$λ^{2}$	-	$4 λ$	+	$2$
$λ$	-	$2$		$λ^{3}$	-	$6 λ^{2}$	+	$10 λ$	-	$4$
			-	$λ^{3}$	+	$2 λ^{2}$
					-	$4 λ^{2}$	+	$10 λ$
					+	$4 λ^{2}$	-	$8 λ$
							+	$2 λ$	-	$4$
							-	$2 λ$	+	$4$

Etapa 7.1.2.1.5.15

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$λ^{2}$	-	$4 λ$	+	$2$
$λ$	-	$2$		$λ^{3}$	-	$6 λ^{2}$	+	$10 λ$	-	$4$
			-	$λ^{3}$	+	$2 λ^{2}$
					-	$4 λ^{2}$	+	$10 λ$
					+	$4 λ^{2}$	-	$8 λ$
							+	$2 λ$	-	$4$
							-	$2 λ$	+	$4$
										$0$

Etapa 7.1.2.1.5.16

Já que o resto é $0$ , a resposta final é o quociente.

$λ^{2} - 4 λ + 2$

Etapa 7.1.2.1.6

Escreva $λ^{3} - 6 λ^{2} + 10 λ - 4$ como um conjunto de fatores.

$λ ((λ - 2) (λ^{2} - 4 λ + 2)) = 0$

Etapa 7.1.2.2

Remova os parênteses desnecessários.

$λ (λ - 2) (λ^{2} - 4 λ + 2) = 0$

Etapa 7.2

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$λ = 0$

$λ - 2 = 0$

$λ^{2} - 4 λ + 2 = 0$

Etapa 7.3

Defina $λ$ como igual a $0$ .

$λ = 0$

Etapa 7.4

Defina $λ - 2$ como igual a $0$ e resolva para $λ$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.4.1

Defina $λ - 2$ como igual a $0$ .

$λ - 2 = 0$

Etapa 7.4.2

Some $2$ aos dois lados da equação.

$λ = 2$

Etapa 7.5

Defina $λ^{2} - 4 λ + 2$ como igual a $0$ e resolva para $λ$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.5.1

Defina $λ^{2} - 4 λ + 2$ como igual a $0$ .

$λ^{2} - 4 λ + 2 = 0$

Etapa 7.5.2

Resolva $λ^{2} - 4 λ + 2 = 0$ para $λ$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.5.2.1

Use a fórmula quadrática para encontrar as soluções.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Etapa 7.5.2.2

Substitua os valores $a = 1$ , $b = - 4$ e $c = 2$ na fórmula quadrática e resolva $λ$ .

$\frac{4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 2)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.5.2.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.5.2.3.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.5.2.3.1.1

Eleve $- 4$ à potência de $2$ .

$λ = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.5.2.3.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 1 \cdot 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.5.2.3.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$λ = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.5.2.3.1.2.2

Multiplique $- 4$ por $2$ .

$λ = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 8}}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.5.2.3.1.3

Subtraia $8$ de $16$ .

$λ = \frac{4 \pm \sqrt{8}}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.5.2.3.1.4

Reescreva $8$ como $2^{2} \cdot 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.5.2.3.1.4.1

Fatore $4$ de $8$ .

$λ = \frac{4 \pm \sqrt{4 (2)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.5.2.3.1.4.2

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$λ = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.5.2.3.1.5

Elimine os termos abaixo do radical.

$λ = \frac{4 \pm 2 \sqrt{2}}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.5.2.3.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$λ = \frac{4 \pm 2 \sqrt{2}}{2}$

Etapa 7.5.2.3.3

Simplifique $\frac{4 \pm 2 \sqrt{2}}{2}$ .

$λ = 2 \pm \sqrt{2}$

Etapa 7.5.2.4

A resposta final é a combinação das duas soluções.

$λ = 2 + \sqrt{2}, 2 - \sqrt{2}$

Etapa 7.6

A solução final são todos os valores que tornam $λ (λ - 2) (λ^{2} - 4 λ + 2) = 0$ verdadeiro.

$λ = 0, 2, 2 + \sqrt{2}, 2 - \sqrt{2}$

Etapa 8

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$λ = 0, 2, 2 + \sqrt{2}, 2 - \sqrt{2}$

Forma decimal:

$λ = 0, 2, 3.41421356 \dots, 0.58578643 \dots$